Урок № 58
Рiвняння, що зводяться до квадратних
Мета: засвоєння учнями основних видiв цiлих рiвнянь, розв’язання яких зводиться до розв’язування квадратних рiвнянь, та схем їх розв’язування; сформувати вмiння видiляти вивченi види рiвнянь серед iнших рiвнянь, а також використовувати відомi схеми для розв’язування названих видiв рiвнянь.
Тип уроку: засвоєння знань та вмiнь.
Наочнiсть та обладнання: опорний конспект «Рiвняння, що зводяться до квадратних».
Хiд уроку
І. Органiзацiйний етап
ІІ. Перевiрка домашнього завдання
Оскiльки завдання домашньої роботи були такого самого типу, як i вправи класної роботи, то пiд час перевiрки придiляємо увагу лише завданням пiдвищеної складностi (традицiйно це завдання на розкладання виразiв вищих степенiв на множники, у розв’язуваннi яких використовується прийом замiни змiнних).
ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку
Вчитель ще раз нагадує учням про те, що вмiння розв’язувати квадратнi рiвняння є одним iз найважливiших для подальшого вивчення не тiльки алгебри, але й багатьох сумiжних дисциплiн. Так, тема цілком присвячена вивченню питання про сферу застосування набутих умінь пiд час розв’язування завдань, передбачених програмою з математики у 8 класi.
На цьому уроцi буде вивчено питання про застосування вмiнь розв’язувати квадратнi рiвняння в розв’язуваннi деяких iнших видiв рiвнянь.
ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
З метою успiшного сприйняття учнями навчального матерiалу уроку слiд активiзувати такi знання i вмiння: застосовувати основнi поняття, пов’язанi з поняттям рiвняння з однiєю змiнною; виконання арифметичних дiй з дiйсними числами; алгоритм розв’язання найпростiших дробово-рацiональних рiвнянь; застосування рiзних способiв розв’язання квадратних рiвнянь рiзних видiв.
Виконання усних вправ
1. Скоротiть дроби:
2. Знайдiть коренi рiвнянь:
3. При яких значеннях змiнної x вираз 3x – 1 набуває значень:
4. Виконайте множення:
V. Засвоєння знань
План вивчення нового матерiалу
1. Приклади рiвнянь, що зводяться до квадратних шляхом уведення нової змiнної (замiною змiнних). Як розв’язувати такi рiвняння?
2. Яке рiвняння називають бiквадратним рiвнянням? Як розв’язати бiквадратне рiвняння?
3. *Як розв’язати рiвняння виду
де
Конспект
Рiвняння, що зводяться до квадратних
1. Шляхом виконання замiни змiнних:
а)
У рiвняннi aP2n(x)+bPn(x)+c=0, де a≠0,
P(x) — многочлен вiд змiнної x
Замiна: Pn(x)=t (t≥0), тодi P2n(x)=t2,
тодi
aP2n(x)+bPn(x)+c=0, at2+bt+c=0
Особливий випадок:
ax4+bx2+c=0 — бiквадратне рiвняння
Замiна: x2=t (t≥0)
ax4+bx2+c=0 at2+bt+c=0
б) У рiвняннi виду:
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m
Якщо a+d=b+c, то помножити парами (x+a)(x+d) i (x+b)(x+c)
Замiна: x2+(a+d)x=t,
тодi
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m (t+ad)(t+bc)=m
2. Шляхом рiвносильних перетворень:
дробово-рацiональнi рiвняння:
рiвняння вигляду де P(x) i Q(x) — многочлени вiд однiєї змiнної, рiвносильнi системi:
Програмою з математики в роздiлi «Рiвняння, що зводяться до квадратних» передбачено вивчення способiв розв’язування цiлих рiвнянь, що зводяться до квадратних шляхом введення нової змiнної, а також дробово-рацiональних рiвнянь.
На уроцi проводиться ознайомлення учнiв iз загальною схемою розв’язання рiвнянь, що перетворюються на квадратнi шляхом введення нової змiнної. Якщо на попередньому уроцi учнi добре засвоїли прийом переходу до нової змiнної у ходi розкладання виразiв на множники, то на цьому уроцi в учнiв не повинно бути проблем iз розумiнням схеми розв’язування рiвнянь шляхом уведення нової змiнної – схема розв’язування рiвнянь таким методом майже спiвпадає зi схемою перетворення виразiв (додається один пункт – пiсля виконання оберненої замiни розв’язати здобуте рiвняння).
Що стосується бiквадратних рiвнянь, то їх можна розглядати як особливий випадок рiвнянь, що були розглянутi вище, тому слiд зауважити, що складена вище схема використовується i пiд час розв’язування цих рiвнянь (можна наголосити на тому, що, на вiдмiну вiд iнших подібних рiвнянь, у бiквадратних рiвняннях завжди «спрацьовує» замiна
Якщо учнi мають високий рiвень навчальних досягнень, їх можна ознайомити зi способом перетворення рiвнянь виду
де до рiвнянь виду де — многочлен вiд однiєї змiнної, з тим, щоб потiм розв’язати утворене рівняння розглянутим вище способом.
VІ. Формування вмiнь
Виконання усних вправ
1. Яку замiну слiд виконати в рiвняннi, щоб дiстати квадратне рiвняння:
а) б)
в)
2. Якi квадратнi рiвняння дiстанемо в завданнi 1, якщо виконаємо вiдповiдну замiну?
Виконання письмових вправ
Для реалiзацiї дидактичної мети уроку слiд розв’язати завдання такого змiсту:
1. Розв’язування рiвнянь рiзного виду, що зводяться до квадратних уведенням нової змiнної.
Розв’яжiть рiвняння:
а) б)
2. Розв’язування бiквадратних рiвнянь.
Розв’яжiть рiвняння: а) б)
3. Логiчнi вправи та завдання пiдвищеного рiвня складностi для учнiв, якi мають достатнiй та високий рiвнi знань.
1) Розв’яжiть рiвняння:
а) б)
в) г)
д) е)
2) Розв’яжiть рiвняння:
а) б)
3) Розв’яжiть рiвняння:
а) б) в) г)
д) е)
4) Знайдiть пропущений вираз:
4. На повторення: завдання на перетворення рацiональних виразiв; на розв’язування дробових рiвнянь (такого рiвня складностi, як було розв’язано в темi «Рацiональнi вирази»).
У ходi розв’язування письмових вправ на вiдпрацювання вмінь застосовувати схему, що передбачає введення нової змiнної для переходу вiд даного рiвняння до квадратного, слiд вимагати від учнiв урахування кiлькох важливих моментiв:
• якщо вводити замiну то тiльки ефективну (щоб у результатi переходу до нової змiнної рiвняння знеквадратного перетворилосьна квадратне);
• розв’язувати новоутворене квадратне рiвняння вiдносно його змiнної (типова помилка учнiв – виконання подiбних записiв:
• обов’язковим етапом розв’язування рiвняння шляхом введення нової змiнної є виконання оберненої замiни (звiсно, у випадку, коли рiвняння, здобуте пiсля замiни, має коренi).
Вправи на повторення є пiдготовчими до сприйняття матерiалу наступного уроку.
VІІ. Пiдсумки уроку
В якому випадку правильно виконано записи?
а) Заміна: тоді
Відповідь. 1; 2.
б) Заміна: тоді
Обернена заміна: або маємо:
Відповідь:
в) Заміна: тоді
Обернена заміна: або маємо:
Відповідь:
VІІІ. Домашнє завдання
1. Вивчити схеми розв’язання рiвнянь, що зводяться до квадратних уведенням нової змiнної.
2. Розв’язати вправи на застосування вивченої схеми.
3. На повторення: завдання на перетворення рацiональних виразiв; на розв’язування дробових рiвнянь (такого рiвня складностi, як було розв’язано пiд час вивчення теми «Рацiональнi вирази»).