Урок № 51
Теорема Вiєта
Мета: домогтися засвоєння учнями змiсту теореми Вiєта для зведеного квадратного рiвняння та для квадратного рiвняння загального виду; сформувати вмiння вiдтворювати вивченi твердження, використовувати їхдля розв’язування завдань, передбачених програмою з математики.
Тип уроку: засвоєння знань та вмiнь.
Наочнiсть та обладнання: опорний конспект «Теорема Вієта».
Хiд уроку
І. Органiзацiйний етап
ІІ. Перевiрка домашнього завдання
Самостiйна робота № 11 (з корекцiєю)
Застосування формули коренiв квадратного рівняння
Варіант 1 Варіант 2
Розв’яжіть рівняння:
ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку
Для створення позитивної мотивацiї навчальної дiяльностi учнiв можна пiд час проведення самостiйної роботи запропонувати учням виконати випереджальне завдання: розв’язати квадратнi рiвняння i для кожного з тих, що мають корені, знайти їхню суму i добуток. На етапi корекцiї (див. вище), перевiряючи правильнiсть виконання завдань, слiд запропонувати учням не просто порiвняти свої вiдповiдi з правильними, але й порiвняти отриманi вiдповiдi (суми та добутки коренiв) з коефiцiєнтами квадратних рiвнянь. Якщо учнi помiтять певні закономiрностi самi, вчителевi достатньо сформулювати проблему: необхiдно дослiдити iснування загальних властивостей коренiв будь-якого квадратного рiвняння та виразити цi властивостi у виглядi формул, сформувати вмiння застосовувати цi властивостi в розв’язуваннi типових завдань.
ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
Для успiшного сприйняття навчального матерiалу уроку слiд активiзувати такi знання i вмiння учнiв: означення квадратного рiвняння, неповних квадратних рiвнянь та зведених квадратних рiвнянь, визначення коефiцiєнтiв квадратного рiвняння, формул для розв’язування квадратних рiвнянь (дискримінанта та коренiв), виконання арифметичних дiй з дiйсними числами.
Виконання усних вправ
1. Розв’яжiть рiвняння:
а) б) в) г) д)
2. Назвiть перший, другий коефiцiєнти i вiльний член квадратного рiвняння:
а) б) в) г) д)
3. Знайдiть значення виразів:
V. Засвоєння знань
План вивчення нового матерiалу
1. Теорема Вiєта для зведеного квадратного рiвняння: формулювання i доведення.
2. Теорема Вiєта для квадратного рiвняння загального виду: формулювання i доведення:
1) теорема, обернена до теореми Вiєта.
2) приклади застосування вивченихтеорем.
Конспект 13
Теорема Вієта
1. Для зведеного квадратного рiвняння:
Якщо має корені х1 і х2 (D > 0), то
2. Для квадратнихрiвнянь загального вигляду:
Якщо має корені х1 і х2 то
3. Обернена теорема:
Якщо числа m i n такi, що m + n = −p, mn = q, то
m і n – корені рівняння
4. Застосування:
а) розв’язування зведених квадратних рiвнянь «пiдбором»?
б) розв’язування рiвнянь де
Формулювання i доведення теореми Вiєта для зведеного квадратного рiвняння учнi зазвичай сприймають досить легко. Єдине, в чому часто помиляються, – це запис значення суми коренів квадратного рівняння: замість числа, протилежного другому коефіцієнту, учні часто вказують другий коефіцієнт. Щоб попередити ці помилки, достатньо розв’язати усні вправи.
Теорема Вiєта для квадратного рiвняння загального вигляду доводиться досить легко через теорему Вiєта для зведеного квадратного рiвняння.
Доведення теореми, оберненої до теореми Вiєта, зазвичай не є обов’язковим для всiхучнiв: його пропонують для самостiйного опрацювання учням, якi мають високий рiвень знань та вмiнь.
Останнiй пункт плану показує практичну значимiсть вивчених теорем: на цьому етапi вивчення матерiалу слiд продемонструвати учням застосування теореми Вiєта та оберненої до неї теореми для вiдшукання коренiв зведеного квадратного рiвняння з цiлими коефiцiєнтами без обчислення дискримiнанта (пiдбором). Коментуючи дiї, що супроводжують пошук коренiв зведеного квадратного рiвняння з цілими коефiцiєнтами iз використанням вивчених теорем, слiд показати учням послiдовнiсть мiркувань, яка допоможе знайти коренi «методом пiдбору»: спочатку записати, чому дорiвнює сума i добуток коренiв, потiм визначити, якi знаки коренiв (за знаком добутку). Якщо вони однаковi, то модуль суми коренiв дорiвнює сумi модулiв коренiв, якщо вони рiзнi, – модуль суми коренiв дорiвнює рiзницi модулiв коренiв; наприкiнцi розкладаємо модуль вiльного члена на множники, що задовольняють попередню умову.
VІ. Формування вмінь
Виконання усних вправ
1. Складiть зведене квадратне рiвняння, в якому сума p i добуток q його коренiв дорiвнюють:
а) б) в) г)
2. Один iз коренiв квадратного рівняння дорiвнює –7.
Знайдiть другий корiнь.
(Розв’язати задачу рiзними способами.)
Виконання письмових вправ
Для реалiзацiї дидактичної мети уроку слiд розв’язати завдання такого змiсту:
1. Чи є данi числа коренями квадратного рiвняння iз заданими коефiцiєнтами.
Чи є данi числа коренями рiвняння?
а) числа 2 і 0,5; б) числа −5 і 25.
2. Знаходження коренiв квадратного рiвняння та виконання перевiрки за теоремою, оберненою до теореми Вiєта.
1) Знайдiть за формулою коренi рiвняння i виконайте перевiрку за теоремою, оберненою до теореми Вiєта:
а) б)
2) Розв’яжiть рiвняння i виконайте перевiрку за теоремою, оберненою до теореми Вiєта:
а) б) в) г)
3. Знаходження суми i добутку коренiв квадратного рiвняння.
1) Кожне з рiвнянь має коренi. Знайдiть суму i добуток цих коренiв:
а) б)
2) Знайдiть суму i добуток коренiв рiвняння:
а) б) в) г)
д) е) ж) з)
4. Знаходження коренiв квадратного рiвняння iз використанням теореми, оберненої до теореми Вiєта.
1) Знайдiть коренi рiвняння за теоремою, оберненою до теореми Вiєта:
а) б) в) г)
д) е) ж) з)
и)
2) Знайдiть пiдбором коренi рiвняння:
а) б) в) г)
5. Знаходження невiдомого кореня та невiдомого коефiцiєнта квадратного рiвняння, якщо вiдомий другий корiнь та два коефіцієнти квадратного рiвняння.
1) Знайдiть вiльний член q зведеного квадратного рівняння якщо його коренями є числа: 5; −3; −2; −6.
2) У рівнянні один iз коренiв рiвняння дорiвнює 7. Знайдiть другий корiнь i коефiцiєнт p.
6. Логiчнi вправи та завдання пiдвищеного рiвня складностi для учнiв, якi мають достатнiй та високий рiвнi знань.
1) Доведiть, що рівняння при будь-яких значеннях b має один додатний i один вiд’ємний коренi.
2. Знайдiть пропущене число:
VІІ. Пiдсумки уроку
В якому з випадкiв правильно виконано дiю?
1) Сума коренiв рiвняння дорiвнює: а) −9; б) 1,8; г) −1,8; д)
2) добуток коренiв рівняння дорiвнює: а) −2; б) 2; в) 0,4; г) інша відповідь.
VІІІ. Домашнє завдання
1. Вивчити змiст та схеми доведення теореми Вiєта та оберненої теореми.
2. Розв’язати вправи на застосування вивчених теорем.
3. На повторення: розв’язати квадратнi рiвняння за формулою.