Урок № 21
Раціональні рівняння. Розв’язування раціональних рівнянь
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту схем розв’язання дробово_раціональних рівнянь із використанням основної властивості пропорції та властивості рівносильних рівнянь; закріпити знання учнів щодо вивчених на попередньому уроці понять (раціональне рівняння, ціле рівняння, дробово_раціональне рівняння, ОДЗ рівняння та схеми розв’язання дробового рівняння виду де A і B — деякі многочлени від однієї змінної); сформувати вміння застосовувати вивчені схеми для розв’язування рівнянь відповідного виду, вдосконалити вміння виконувати вивчені на попередніх уроках перетворення раціональних виразів.
Тип уроку: доповнення знань, удосконалення вмінь.
Наочність та обладнання: опорний конспект «Додавання та віднімання раціональних дробів».
Хід уроку
І. Організаційний етап
ІІ. Перевірка домашнього завдання
Одним зі способів перевірки рівня засвоєння учнями знань та вмінь, запропонованих для вивчення на попередньому уроці, є математичний диктант.
Математичний диктант
1. Закінчіть речення:
Рівняння називають раціональним, якщо....
2. Закінчіть речення:
Рівняння називають цілим раціональним рівнянням, якщо...
3. Складіть та запишіть два дробово-раціональних рівняння різного виду.
4. Розв’яжіть рівняння
Якщо під час розв’язування вправ домашнього завдання учні мали значні труднощі, тоді доцільно провести перевірку домашнього завдання за зразком.
ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку
З метою усвідомлення учнями необхідності вивчення матеріалу, запропонованого на поточний урок, учитель може провести роботу, що передбачає розв’язування учнями завдань на виконання таких розумових дій, як порівняння (знаходження спільного та відмінного), а також узагальнення та формулювання гіпотези.
Виконання усних вправ
1. Розгляньте рівняння:
та порівняйте їх за різними критеріями (видом самого рівняння, видом виразів, з яких складаються права та ліва частини рівнянь, тощо). Що в них спільного, відмінного? Яким способом розв’язуються перші два рівняння? Чи можна третє і четверте рівняння розв’язати таким способом? Що додатково слід врахувати, розв’язуючи останні два рівняння?
2. Розгляньте рівняння:
та порівняйте їх за різними критеріями (видом самого рівняння, видом виразів, з яких складаються права та ліва частини рівнянь, тощо). Що в них спільного, відмінного? Яким способом розв’язуються перші два рівняння? Чи можна третє і четверте рівняння розв’язати таким способом? Що додатково слід врахувати, розв’язуючи останні два рівняння?
Після проведеної роботи учні мають сформулювати питання (проблему) – чи не можна дробово-раціональні рівняння, що мають вигляд пропорції або рівності раціональних виразів, розв’язувати подібними способами — до способів розв’язання цілих раціональних рівнянь відповідного вигляду? Які додаткові дії при цьому обов’язково слід виконати? Пошук відповіді на поставлене запитання і становить основну дидактичну мету уроку, до якої додаються завдання: сформулювати алгоритми розв’язання дробово_раціональних рівнянь із застосуванням основної властивості пропорції та властивості рівносильних рівнянь (якщо обидві частини рівняння помножити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному), а також, закріпивши знання послідовності дій, передбачених цими алгоритмами, сформувати вміння застосовувати ці алгоритми на практиці (для розв’язування відповідного виду рівнянь).
ІV. Актуалізація опорних знань та вмінь
З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу перед вивченням матеріалу уроку слід активізувати такі знання і вміння учнів: тотожні перетворення цілих виразів; перетворення суми, різниці, добутку і частки двох раціональних дробів на раціональний дріб; знаходження спільного знаменника для даних кількох раціональних дробів; застосування основної властивості пропорції та властивості рівносильних рівнянь.
Виконання усних вправ
1. Виконайте дії:
2. Знайдіть спільний знаменник для дробів:
і і і і
3. Розв’яжіть рівняння:
V. Засвоєння знань
План вивчення нового матеріалу
1. Алгоритм розв’язання дробово-раціонального рівняння, що має вигляд пропорції (із прикладом).
2. Алгоритм розв’язання дробово-раціонального рівняння, що має вигляд рівності двох раціональних виразів (із прикладом).
Розв’язування учнями завдань на етапі формулювання мети і завдань уроку підготувало учнів до свідомого сприйняття ними змісту навчального матеріалу уроку: схеми розв’язання дробово-раціональних рівнянь із застосуванням основної властивості пропорції та із використанням властивості рівносильних рівнянь.
Перед вивченням першого питання плану слід розглянути питання про ОДЗ дробового рівняння виду учні мають усвідомити, що в цьому випадку ОДЗ знаходимо з умови B≠0, D≠0. Тоді алгоритм розв’язання рівнянь типу можна записати у вигляді такої схеми дій:
1. Знайти ОДЗ рівняння (див. попередній урок).
2. Використати основну властивість пропорції: перейти до рівняння AD BC, розв’язати це рівняння.
3. Перевірити, які зі знайдених коренів задовольняють ОДЗ; ті, що не задовольняють ОДЗ, є сторонніми коренями; записати відповідь.
Після складання схеми дій необхідно проілюструвати її застосування під час розв’язування відповідного прикладу.
Під час вивчення питання про спосiб переходу вiд дробового рiвняння, що має вигляд рiвностi двох рацiональних виразiв, до цілого рiвняння, можна запропонувати учням перетворення, що ґрунтується на застосуваннi властивостi рiвносильних рiвнянь – у результатi множення обох частин рiвняння на вираз, що не дорiвнює нулю, утворюється рiвняння, рiвносильне даному (такийспосiб розв’язання цiлих рiвнянь схожого вигляду учнi вивчили в 7 класi). Так само, як i за перетворення цiлих рiвнянь, таким множником є спільний знаменник для всiх дробiв, але спiльнийзнаменник у випадку дробового рівняння є виразом зi змiнними. Тому ОДЗ такого дробового рiвняння знаходимо з умови: спiльнийзнаменник усiх дробiв не дорiвнює нулю.
Пiсля цього формулюється загальна схема дiйрозв’язування дробових рiвнянь:
• знайти спiльний знаменник усiх рацiональних дробiв; знайти ОДЗ рiвняння (див. вище);
• помножити обидвi частини рiвняння на спiльнийзнаменник; розв’язати утворене цiле рiвняння;
• виконати перевiрку знайдених коренiв цiлого рiвняння на вiдповiднiсть їх до ОДЗ (див. п.1), вiдсiяти можливi стороннi коренi, записати вiдповiдь.
Пiдбиваючи пiдсумки вивченого матерiалу, слiд зауважити, що вивченi схеми розв’язання дробових рiвнянь вiдрiзняються лише способом переходу до цiлого рiвняння, серед коренiв якого можуть мiститися коренi даного дробового рiвняння; загальнi положення розв’язання дробових рiвнянь є незмiнними: перейшовши до цiлого рiвняння (яке є наслiдком даного рiвняння) та розв’язавши це цiле рiвняння, обов’язково враховуємо ОДЗ даного дробового рiвняння або перевiряємо, чи не перетворюють коренi цiлого рiвняння знаменник даного рiвняння на нуль.
Слiд зауважити, що оволодiти бажано всiма трьома видами перетворень, бо iснують види рiвнянь, розв’язання одних з яких простіше зробити одним способом, нiж iншим (доречно було б це проiлюструвати на прикладах).
VІ. Засвоєння вмінь
Виконання усних вправ
1. При яких значеннях змiнної a не мають змiсту вирази:
2. Чи рiвносильнi рiвняння:
а) та б) та Чому?
3. При якому значеннi x значення дробiв рiвнi:
і і і і
Виконання письмових вправ
Щоб реалiзувати дидактичну мету, на цьому уроцi слiд розв’язати завдання такого змiсту:
1. Розв’язування дробово-рацiональних рiвнянь за алгоритмами (складеними на уроках 20, 21).
1) Розв’яжiть рiвняння:
а) б) в)
г) д)
е)
2. Складання та розв’язування (найбiльш рацiональним способом) дробово-рацiональних рiвняння за умовою задачi.
1) Вiдстань мiж мiстами A i B дорiвнює 720 км. З мiста A до мiста B виїхав автомобiль i одночасно з ним вилетiв лiтак. Автомобiль прибув до мiста B на 10 год пiзнiше від лiтака. Знайдiть швидкiсть лiтака та автомобiля, якщо швидкiсть лiтака в 6 разiв бiльша від швидкостi автомобiля.
2) До басейну пiдведено двi труби. Через першу трубу басейн можна наповнити водою удвiчi швидше, нiж через другу. Якщо вiдкрити обидвi труби одночасно, то басейн наповниться за 4 год. За який час можна наповнити басейн через кожну трубу окремо?
3. На повторення: перетворити раціональний вираз iз використанням набутих ранiше знань.
1) Спростiть вираз:
2) Доведiть тотожнiсть:
4. Логiчнi вправи та завдання пiдвищеного рiвня складностi для учнiв, якi мають достатнiй та високий рiвні знань.
1) Якийвираз пропущено?
5.* Розв’язування дробово-рацiонального рiвняння з параметром.
1) Розв’яжiть рiвняння з параметром a:
2) При яких значеннях a рівняння не має коренiв?
3) При яких значеннях a рівняння має один корiнь?
Уснi вправи сприяють закрiпленню учнями схеми дiйпiд час виконання перетворень вiдповiдно до певного алгоритму та формуванню первинних умiнь виконувати дiї вiдповiдно до вивчених алгоритмiв.
Пiд час розв’язування письмових вправ на уроцi слiд вимагати від учнiв дотримування правил: перед розв’язуванням дробового рівняння визначити вид рiвняння, а вже потiм вибрати відповідний спосіб рiвносильних перетворень рiвняння; вибравши певний алгоритм перетворень дробового рiвняння, слiд чiтко слiдувати тiльки цьому алгоритму, не «перескакувати» на iнший; рiвняння вважається розв’язаним тiльки якщо виконана вся послiдовнiсть дiй, передбачена алгоритмом.
VІІ. Пiдсумки уроку
В якому з випадкiв правильно розв’язане рiвняння?
а)
3=−3— коренiв немає б)
1) ОДЗ: 2x−1≠0 та x−1≠0;
та x≠1;
x=0,6 — задовольняє ОДЗ.
3) Вiдповiдь. 0,6
VІІІ. Домашнє завдання
1. Вивчити алгоритми розв’язання дробово-рацiональних рiвнянь рiзного вигляду; скласти загальнийалгоритм розв’язання дробоворацiональних рiвнянь.
2. Розв’язати дробово-рацiональнi рiвняння та вправи, що передбачають складання та розв’язування дробово-рацiональних рiвнянь.
3. Повторити вивченi схеми дiйпiд час перетворення раціональних виразiв; розв’язати вправи на застосування цих схем та вивчених ранiше способiв перетворення окремого виду раціональних виразiв.